台綜大轉學考微積分 107 B 卷解答

本題極限為 $\mathop {\lim }\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ 的形式，將題目配合極限存在時的性質稍作調整即可。

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (4x^3 )}}{x}= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \underbrace {\frac{{\sin (4x^3 )}}{{4x^3 }}}_1 \cdot \underbrace {4x^2 }_0 = 0　∎$

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此題考點：lim sinx/x 專論、極限運算定理(四則運算篇)

這一題要求水位下降至水面為半徑1公尺時，水位下降的瞬時速率，將體積與時間的關係列式後可微分。

$1^{\circ}$ 令 $V(t)$ 為 $t$ 時剩餘水的體積
　$\begin{array}{cl}\Rightarrow V(t)&=\frac{1}{3}\pi\left[r(t)\right]^2\cdot h(t)\\&=\frac{4\pi}{3}\left[h(t)\right]^3 \end{array}$
$2^{\circ}$ 當 $r(t)=1,\ h(t)=\frac{1}{2}r(t)=\frac{1}{2}$
　$\Rightarrow -2=4\pi (\frac{1}{2})^2\cdot h^{\prime}(t)$
　$\Rightarrow h^{\prime}(t)=-\frac{2}{\pi}　∎$

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此題考點：微分求極值

看到單變數函數的積分，很高的機率要使用四大積分法，依被積函數的一些特徵來判斷要使用哪種方法，以下演示變數變換法。

$1^{\circ}$ 令 $u=\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\Rightarrow 2udu=dx$
　$\begin{array}{cl} \int \sin (\sqrt{x})dx &=\int \sin u(2udu)=2\int u\sin udu \\ &=2(-u\cos u-\int -\cos udu) \\ & =2(-u\cos u+\sin u+C) \\&=-2\sqrt{x}\cos\sqrt{x}+2\sin\sqrt{x}+C　∎ \end{array}$

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此題考點：變數變換法

這一題單純要求在定點的切平面，馬上想到梯度。

$1^{\circ}$ $\nabla f=(2x+y,4y+x,e^z)$
　$\Rightarrow \nabla f(1,0,0)=(2,1,1)$
$2^{\circ}$ Tangent plane: $2x+y+z=2　∎$

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此題考點：等值面與切平面

本題為單變數的瑕積分，觀察出被積函數分子分母都是多項式，首要想到四大積分法其中之一：部分分式法，之後就是基本的積分了。

$\begin{array}{cl} 1^{\circ}\ \int \frac{3x^2+1}{x^4+x^2}dx& =\int\frac{3x^2}{x^2(x^2+1)}dx=\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^2+1}dx \\ & =\int\frac{Ax(x^2+1)+B(x^2+1)+Cx^2}{x^2(x^2+1)}dx \\ & =\int\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^2+1}dx=-\frac{1}{x}+2\tan^{-1}x+C  \end{array}$
$\begin{array}{cl} 2^{\circ}\int_1^{\infty}\frac{3x^2+1}{x^4+x^2}dx & =\left[-\frac{1}{x}+2\tan^{-1}x\right]_{x=1}^{x=\infty} \\ & =(0+2\cdot\frac{\pi}{2}-(-1+2\cdot\frac{\pi}{4}))=1+\frac{\pi}{2}　∎ \end{array}$

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此題考點：部分分式法

遇到分段函數在斷點求極限、(偏)微分，基本就是使用定義處理。

$\begin{array}{cl} 1^{\circ}\ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)&=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(0 + h,0) – f(0,0)}}{h}\\&=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f( h,0)}{h}\\&=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{2h^3 + 0}}{{h^2 + 0}}}}{h}\\&=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2=2　∎\end{array}$

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此題考點：二變數函數的偏微分

這題是要求單變數函數極值所在，這時候就是使用微分，函數是用積分表示而且上下界又有變數，因此可以直接想到微積分基本定理。

$\begin{array}{cl} 1^{\circ}\ f^{\prime}(x) & =\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^3-3x}e^{\cos (t^2+1)}dt \\ & =e^{\cos ((x^3 – 3x)^2 + 1)} (3x^2 – 3)\mathop = \limits^{Let} 0  \end{array}$
　$\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$
$\begin{array}{rl} 2^{\circ}\ \because & f(x)=\int_0^{-2}e^{\cos(t^2+1)}dt<0 \\ & f(-1)=\int_0^{2}e^{\cos(t^2+1)}dt>0 \\ \therefore & f(1) \text{ is local minimum.}  \end{array}$
　　　　所求$=1　∎$

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此題考點：微積分基本定理型 II

泰勒展開式有不少方法可以求得，初學者往往想要直接用泰勒定理解全部題型，但使用泰勒定理是無可奈何的情況，這一題函數的結構和 $x$ 的範圍符合使用等比級數公式。

$1^{\circ}$ 當 $\left| x\right|<1,\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$
　$\begin{array}{cl} \frac{x^3}{1+x^2}=\frac{x^3}{1-(-x^2)} &=x^3(1-x^2+x^4-x^6+x^8\cdots) \\ &=x^3-x^5+x^7-x^9+x^11\cdots \\ &=\sum\limits_{n = 1}^\infty {( – 1)^{n + 1} } x^{2n + 1}　∎  \end{array}$

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此題考點：泰勒級數與泰勒定理

遇到不好直接算的二重積分，要馬上想到極座標變換、富比尼定理，由於這題的積分範圍與被積函數沒有和圓形相關，因此使用富比尼定理。

$\begin{array}{cl}1^{\circ}\int_0^1\int_x^1\cos(y^2+1)dydx&=\int_0^1\int_0^y\cos(y^2+1)dxdy\\&=\int_0^1 {\cos (y^2 + 1)} \underbrace {\int_0^y {dx} }_ydy = \int_0^1 {\cos (y^2 + 1)} ydy\\&(\text{Let }u=y^2+1\Rightarrow du=2ydy)\\&=\int_1^2\cos u\cdot\frac{du}{2}\\&=\frac{1}{2}\left[\sin u\right]_{u=1}^{u=2}\\&=\frac{1}{2}(\sin2-\sin1)　∎ \end{array}$

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此題考點：二變數函數的積分

最後一題是帶有限制條件求 $f(x,y,z)$ 的極大值，並且限制要使用拉格朗日乘數法，列完式後要求出極值的候選人 $(x,y,z)$ ，再比較各個點代值後的大小。

$\begin{array}{cl}1^{\circ}&\left\{ {\begin{array}{c}{\nabla f + \lambda \nabla g = 0} \\ {x^2 + y^2 + z^2 = 19}\end{array}} \right.\\&\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l}{(2,3,5) + \lambda (2x,2y,2z) = 0} \\ {x^2 + y^2 + z^2 = 19} \end{array}} \right.\\&\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cl}{2 + 2\lambda x = 0} & { \Rightarrow x = – \frac{1}{\lambda }} \\ {3 + 2\lambda y = 0} & { \Rightarrow y = – \frac{3}{{2\lambda }}} \\ {5 + 2\lambda z = 0} & { \Rightarrow z = – \frac{5}{{2\lambda }}} \\ {x^2 + y^2 + z^2 = 19} & \end{array}} \right. \\&\Rightarrow \frac{1}{{\lambda ^2 }} + \frac{9}{{4\lambda ^2 }} + \frac{{25}}{{4\lambda ^2 }} = 19 \Rightarrow \frac{{38}}{{4\lambda ^2 }} = 19 \Rightarrow \lambda = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\&\Rightarrow (x,y,z) = \pm (\sqrt 2 ,\frac{3}{2},\frac{5}{2}\sqrt 2 ) \end{array}$

　　$\begin{array}{cl} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x^2 + y^2 + z^2 = 19} f(x,y,z) & =2\sqrt 2 + \frac{9}{2}\sqrt 2 + \frac{{25}}{2}\sqrt 2 \\ & =\frac{{38}}{2}\sqrt 2 = 19\sqrt 2　∎ \end{array}$

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此題考點：拉格朗日乘數法